Exercices types

Lien Moodle : https://moodle.epita.fr/mod/page/view.php?id=64245

Contenu du cours

Exercice 1

Soit $(u_n)$ définie par récurrence par $u_0=0$ et, pour tout  $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{3+u_n}{2}$.

1. Déterminer un réel $l$ tel que la suite $(v_n)=(u_n-l)$ soit géométrique.

1. En déduire le comportement de $(u_n)$.

Exercice 2

Etudier la limite de la suite $(u_n)=\left(\dfrac{3^n (n!)^2}{ (2n)!} \right)_{n\in \mathbb{N}}$ (on étudiera $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$).

Exercice 3

Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n\geq 1$ par $u_n=0,1111\cdots1$ (avec $n$ fois le chiffre $1$ après la virgule dans cette écriture décimale).

1. Déterminer la limite $a$ de la suite $(u_n)$.

2. Montrer que,  $\forall n\in \mathbb{N}, u_n=\dfrac{E(10^n a)}{10^n}$.